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§15不等式的应用
1．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组a1a2a
及b1b2b
则a1b1a2b2a
b
（同序和）
a1bj1a2bj2a
bj
（乱序和）
a1b
a2b
1a
b1（逆序和）
其中j1j2j
是1，2，…，
的任一排列当且仅当a1a2a
或
b1b2b
时等号（对任一排列j1j2j
）成立
2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有
个正数a1a2a
的算术平均数和几何平均数分别是
A

a1a2a
和G
a1a2a

此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到
H

111a1a2a

，
和平方平均（在统计学及误差分析中用到）
Q

22a12a2a

这四个平均值有以下关系H
G
A
Q
○
3．应用算术平均数几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式柯西（Cavchy）不等式：设a1、a2、a3，…，a
是任意实数，则
2222a1b1a2b2a
b
2a12a2a
b12b2b

等号当且仅当bikaik为常数，i12
时成立4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式切比雪夫不等式：若a1a2a
，b1b2b
，则
a1b1a2b2a
b
a1a2a
b1b2b


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例题讲解
1．abc0求证：ababbcbccaca6abc
2．abc0，求证：abcabc
abc
abc3

3．：abcR求证abc
a2b2b2c2c2a2a3b3c32c2a2bbccaab
4．设a1a2a
N，且各不相同，
求证：1
12
13
1aa3aa122
2
23
2
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5．利用基本不等式证明a2b2c2abbcca
6．已知ab1ab0求证：ab
44
18
7．利用排序不等式证明G
A

8．证明：对于任意正整数R，有1
1
1
11
1
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