高考达标检测（三十二）空间角3类型线线角、线面角、二面角
1．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC＝1，AA1＝3
1求证：BC1∥平面A1DC；2求二面角DA1CA的正弦值．解：1证明：过点A作AO⊥BC交BC于点O，过点O作OE⊥BC交B1C1于E因为平面ABC⊥平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1
以O为坐标原点，OB，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为BC＝1，AA1＝3，△ABC是等边三角形，所以O为BC的中点．则O000，A0，0，1—→34

31331C－1，0，0，B，0，0，A10，3，，D，0，，，2422423—→13，A1C＝－，－3，－，422
C1－，3，0，CD＝，0，2
设平面A1DC的一个法向量为
1＝x1，y1，z1，—→
1CD＝0，则→
1—A1C＝0，334x＋4z＝0，即13－2x－3y－2z＝0
11111
取x1＝3，得z1＝－3，y1＝1，∴平面A1DC的一个法向量为
1＝3，1，－3．—→—→又∵BC1＝－1，3，0，∴BC1
1＝0，又BC1平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC2设平面ACA1的一个法向量为
2＝x2，y2，z2，—→∵AA1＝0，3，0，—→
2AA1＝0，则→
2—A1C＝0，
3y2＝0，即13－x2－3y2－z2＝0，22
取x2＝3，得y2＝0，z2＝－1
1
f∴平面ACA1的一个法向量为
2＝3，0，－1．则cos〈
1，
2〉＝613×2＝313，13
设二面角DA1CA的大小为θ，313213∴cosθ＝，si
θ＝，1313213故二面角DA1CA的正弦值为132．2017全国卷Ⅱ如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边1三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E2是PD的中点．1证明：直线CE∥平面PAB；2点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．解：1证明：取PA的中点F，连接EF，BF1因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD2由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，1又BC＝AD，所以EFBC，2所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又CE平面PAB，BF平面PAB，
故CE∥平面PAB—→2由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方—→向，AB为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则
A000，B1，00，C110，P0，1，3，PC＝10，－3，
—→AB＝100．设Mx，y，z0x1，—→—→则BM＝x－1，y，z，PM＝x，y－1，z－3．r