b

cos
b

12

不存在此广义积分发散

6
dx

x22x2

dx1arcta
x1x121


π收敛
2
71
xdxlim
x10
21
x
11dxx1

lim
0
23
x
3
12

2

lim
0

2
23

23

32

2



2
23
收敛
2x11
8
1
l
xdxxl
x
0
1

1
dxl
1


1
l
xdxlim
1
l

xdx

lim

l


1

1收敛

0
0
e
9
dx
e

1x1l
x21
dl
x1l
x2
arcsi
l
x
e1

π收敛2
10
2dx01x2

lim
0

10
11x2
dx

21
11x2
dx


lim
0

1
1
x
10
11x
21


lim
0

2

2



此广义积分发散
1
110
xdx1
1d1x2
lim
lim
1x22001x2
0
1x2
10
lim112110
此广义积分收敛
2
当k为何值时，广义积分
dx2xl
xk
收敛当k为何值时，这广义积分发散又当k为何
值时，这广义积分取得最小值
解
当k1时
dx
2xl
x
2
dl
xl
x

l
l

x
2


发散
18
f当k1时
dx2xl
k

l
xkdl
xl
x1k
2
1k

1
2

k
1l

2k1

k1k1
所以当k1时此广义积分收敛当k≤1时此广义积分发散记fkk1l
2k1
fkl
2k1k1l
2k1l
l
2令fk0得k11l
l
2
又
fkl
2k1l
l
22k1l
l
2
且
f1
1
1
l
2l
l
2l
l
20
l
l
2
故fk在k11有极大值而fk只有一个驻点所以当k11时fk取
l
l
2
l
l
2
得最大值因而k11时这个广义积分取得最小值l
l
2
3
利用递推公式计算反常积分I

x
exdx
0
解
I


x
dex
0
x
ex
0



0
xe
1xdx


I
1
又
I1
xdex
0
xex
0

ex
0
1
故
I
I
1
1I
2
12I1

4求I

11x2
dx
0


解设xsi
t则dxcosdt
012…
π
I

2cos2
1tdt
0
而
π
2si
xdx
0
π20
cos

xdx


2k12k


2k
π2

2k
2k1
2k1
所以
I

π
2cos2
1tdt
2

22

2
0
2
12
1

012

6用Γ函数表示下列积分：
1ex
dx
＞0；0
3xmex
dxm10
0


21l
1dx＞1；0x
4x2
ex2dx（
1）
0
2
19
f解
1令
x


t
则
x

1
t
dx

1
11
t
dt



于是
ex
dx
et

1
11
t
dt

1

t
1

e1t
dt

1
1

0
0


0


2令l
1t则xetdxetdtx
于是
1l
1adx0taetdttae11tdta1
0x

0
3令
x


t
则
x

1
t
dx

1
11
t
dt



于是
xmex
dx

1
t

met

1
t
11
dt

1
m1
t

etdt

1
m1

0
0


0


4令x2t则xtdx1dt2t
于是
x2
ex2dx


t2
et
1
dt1

t


12
et
dt
0
0
2t
20
1
tedt



12
1
t

1



1
20
2
2
20
fr