另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义
定义211对于两个
阶方阵AB，若ABBA则称方阵A与B是可交换的。
3矩阵可交换的条件
31矩阵可交换的充分条件定理311（1）设A、B至少有一个为零矩阵，则A、B可交换；（2）设A、B至少有一个为单位矩阵，则A、B可交换；（3）设A、B至少有一个为数量矩阵，则A、B可交换；（4）设A、B均为对角矩阵，则A、B可交换；（5）设A、B均为准对角矩阵，则A、B可交换；（6）设A是A的伴随矩阵，则A与A可交换；（7）设A是可逆矩阵，则A与A1可交换（8）设ABE，则A、B可交换证明：（1）对任意矩阵A，均有：A00A，0表示零矩阵；（2）对任意矩阵A，均有：AEEA，E表示单位矩阵；（3）对任意矩阵A，均有：AkEkEA，k为任意实数；
1
f（4、5）显然成立；
（6）AAAAAE；
（7）AA1A1AE；
（8）当ABE时，A、B均可逆，且为互逆矩阵
定理312
1设ABAB其中为非零实数则AB可交换2设AmABE其中m为正整数为非零实数则AB可交换
证明1由ABAB可得
AEBEE
即
1AEBEE
故依定理3118得
1BEAEE

于是
BAABEE
所以
BAABAB
2由AmABE得
AAm1BE
故依定理3118得
Am1BE
于是
AmBAE
所以可得ABBA
定理313
1设A可逆若ABO或AAB或ABA则AB可交换
2设AB均可逆若对任意实数k均有AAkEB则AB可交
2
f换2
证明
1若ABO由A可逆得BA1ABA1ABO
从而BAO故
ABBA
若AAB同理可得
BA1ABA1ABE故ABBA
若ABA则
BBAA1BAA1E故ABBA
2因AB均可逆故由AAkEB得AkE可逆
且BAkE1A则
ABAkEBAkE1A

BA

kE
AA

kE

1
BAAkAAkE1
BAAkEAkE1
BAAB
两边取转置可得ABBA或由
A1B1AkEB1AkE1A1
B1AkE1A1AkE
B1A2kE1AkE
两边取逆可得ABBA
B1AkEA1AkE
B1A1
32矩阵可交换的几个充要条件定理321下列均是AB可交换的充要条件①A2B2ABABABAB
3
f②AB2A22ABB2
③ABAB
④ABAB
证明：（1）由ABABA2ABBAB2及
ABABA2ABBAB2可证得；
（2）由AB2A2ABbaB2可证得；
（3）分别由ABBA，ABAB两边取转置可证得；
（4）分别由ABBA，ABAB两边取伴随可证得
定理322可逆矩阵AB可交r