08年度第一学期《线性代数》考试题（0809年度第一学期《线性代数》考试题（b）解答和评分标准一、选择题1、C；二、填空题5、2727三、计算题6、2、D；3、C；4、A。
31EA；44
7、diag242；
8、t

3。5
9、解：设
010100143A100，B001，C201，则原方程为001010120
AXBC
从而
XA1CB1
因为
（4分）
0101001A100，B001001010
1
故
211X134102
10、解：第二行减第一行得10、
（4分）
1D
1
1ccc2c2c3
1ddd2d2d3
ab2aabb2a2a3b2b3
第三行减第二行得
11abD2ab2a2a3b2b3
第四行减第三行得
1cc2c2c3
1dd2d2d3
fD
1aa2a3
1bb2b3
1cc2c3
1dd2d3
，
（4分）
这是一个范德蒙德行列式，这是一个范德蒙德行列式，故
Dbacadacbdbdc。
四、证明题11、证明：11、证明：1、1、因为α1
（4分）
，2，3可由β1，2，3线性表示，则ααββ线性表示，
rα1，2，3≤rβ1β2β3，αα
又α1
，2，3线性无关，则αα线性无关，
rα1，2，33，αα
由于
rβ1，2，3≤3，从而rβ1，2，33，因此向量组β1，2，3ββββββ
线性无关。
4分（2）（反正法）若不，则对任意αj，那么αj、反正法）若不，
，2，3线性相关。因为β1β2，3线性无关ββ线性相关。β线性无关
rα1，2，3≤rβ2，32，矛ααβ
β线性无关。β线性表示，则β2，3线性无关。从而αj可由β2，3线性表示，故3
盾。12、12、证明（1）因为AB4分
AB，则
AEEBAABEBAABEBE，
所以
AE1EB
（2）因为AE
1
4分
EB，则
EEBEAABBAEABBAE
故
ABBA
五、解答题13、解：、
（4分）
f（1）由）
λEA0得A的特征值为λ11，λ22，λ35。
（4分）
0（2）λ11的特征向量为ξ11，）11λ22的特征向量为ξ20，00λ35的特征向量为ξ31。1
（3分）
正交。（3）因为特征值不相等，则ξ1ξ2ξ3正交。）因为特征值不相等，
（2分）
0r