，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA90°，则∠ABC∠BAC90°，而∠CBD∠BA，得到∠ABC∠CBD90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线。（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BEOEED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE60°，又因为AC∥OD，则∠OAC60°，ACOAOE，即有AC∥OE且ACOE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OAOE，即可得到四边形OACE是菱形。（3）由CF⊥AB得到∠AFC∠OBD90°，而OD∥AC，则∠CAF∠DOB，根据相似三角形的
FCAFBDAF，即FC，再由FG∥BD易证得BDOBOBFGAFBDAF△AFG∽△ABD，则，即FG，然后求FG与FC的比即可。BDABAB
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有27（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重
5
f合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AMAN；（2）设BPx。
3①若，BM，求x的值；8
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，∴ADAP，∠DAP∠BAC600，∠ADM∠APN600。∴∠DAM∠PAN。∴△ADM≌△APN（ASA），∴AMAN。（2）①易证△BPM∽△CAP，∴
BMBP，CPCA
33x∵BN，AC2，CP2－x，∴8，即4x28x30。82x2
解得x
13或x。22
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。∵△ADM≌△APN，∴SADMSAPN。∴S四边形AMPNSAPMSANPSAPMSADMSADP。如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。
6
f在Rt△BPS中，∵∠P600，BPx，
31x，BSBPcos600x。221∵AB2，∴ASAB－BC2－x。2
∴PSBPsi
600
1∴APAS＋PS2x2
222
2
3xx22x42
2
。∴SADP∴
1133APDTAPAPAP2。2224
SS四边形AMPNSADP
3232333APx2x4x120x2。444433∴当x1时，S的最小值为。4
③连接PG，设DE交AP于点O。若∠BAD150，∵∠DAP600，∴∠PAG450。∵△APD和△APE都是等边三角形，∴ADDPAPr