支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
受力：由mgTmv2L知小球速度越小绳拉力或环压力T越小但T的最小值只能为零此时小球以重力提供
作向心力
结论：通过最高点时绳子或轨道对小球没有力的作用可理解为恰好通过或恰好通不过的条件，此时只
有重力提供作向心力注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。
能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）不能过最高点条件：VV临实际上球还未到最高点就脱离了轨道
讨论：①恰能通过最高点时：mgmv临2，临界速度V临gR；R
可认为距此点hR2
或距圆的最低点h5R处落下的物体。2
☆此时最低点需要的速度为V低临5gR☆最低点拉力大于最高点拉力ΔF6mg
②
最高点状态
mgT1m
v高2L
临界条件T10临界速度V临
gRV≥V临才能通过
最低点状态T2mg
mv低2L
T2T16mgg可看为等效加速度
高到低过程机械能守恒
12
mv低2

12
mv高2
mg2L
②半圆：过程mgR1mv22
最低点Tmgmv2R
绳上拉力T3mg；过低点的速度为V低
2gR
小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a2g
③与竖直方向成角下摆时过低点的速度为V低2gR1cos
此时绳子拉力Tmg32cos（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用（由mgNmU2知）R
当V0时，Nmg（可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R1mv22
低点：Tmgmv2RT5mg；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低2gR
注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别：以上规律适用于物理圆但最高点最低点g都应看成等效的情况2．解决匀速圆周运动问题的一般方法（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。
f（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x轴正方向）将力正交分解。
（5）
建立方程组
Fx

v2m
R

m2R

m（2）2RT
Fy0
3．离心运动
在向心力公式F
mv2R中，F
是物体所受合外力所能提供的向心力，mv2R是物体作圆周运动所需要的向心力。当提供的向心力等于所需要的向心力时，物体将作圆周运动；若提供的向心力消失
或小于所需要的向心力时，物体将做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。其中提供的向心力消失时，
物体将沿切线飞去，离圆心越来越远；提供的向心力小于所需要的向心力时，物体不r