使fz的虚部为vxy2x2x
2y2且满足f13i
解：vx
y2x2x2y2vx4x1vy4y
uxy∫vydxvxdy4xyyC
所以fz4xyyCi2x2x2y2
令y0得fz2iz2izC由f13iC0
故fz2iz2iz
四、本题10分求函数fz
1在圆环域0z1及z1z2
0z11内的洛朗展式
解：1
在0z1内，
fz
∞111′∑
2z
z1z2z1z
1
2在0z11内，
3
ffz
∞111∑1z1
z1z21z21z1
2
本五、题10分利用拉普拉斯变换求下列微分积分方程的解
y′t4yt4∫yτdτ
0t
13ty003
解：将方程两端取拉氏变换，令
LytYs得
413sYs4YsYs4s3s
即Ys
23111113111s3s228s2s22s38s24s22
从而方程的解为
ytL1Ys31131tt2e2tte2t82484
0t00t0f2tt六、本题10分设f1t求f1tf2t1t≥0et≥0
解：
f1tf2t∫
∞
∞
f1τf2tτdτ
当t≤0时，f1tf2t0
当t0时，f1tf2t∫etτdτeteτ
0
t
t0
1et
故
1et0f1tf2t0t≤0
t
七、本题10分如果fzuiv是解析函数证明fzfz2f′zxy
4
2
2
f证：
uuyvvyuuvvxfzxfzxu2v2yu2v22222u2uxu2v2vxv2yyxfzyfz22uv
利用CR条件可知
22fzfzuxvxf′z2xy
22
5
fr