第十八章隐函数定理及其应用
一、证明题1证明设方程Fxy0所确定的隐函数yfx具有二阶导数则当时有2设u
yyπv证明当0xy0时uv可以用来作为曲线坐标解出xy作为tgxsi
x2
uvxy和并验证它们互为倒xyuv
uv的函数画出xy平面上u1v2所对应的坐标曲线计算数
3将以下式子中的xyz变换成球面从标rθ的形式
uuu1uxyz
22
2
2u
2u2u2ux2y2z2
4证明对任意常数ρ球面x2y2z2ρ2与锥面x2y2tg2z2是正交的5试证明函数Fxy在点P0x0y0的梯度恰好是F的等值线在点P0的法向量设F有连续一阶偏导数6证明在
个正数的和为定值条件x1x2x3…x
a下这
个正数的乘积x1x2x3…x
的最大值为于算术中值

a
并由此结果推出
个正数的几何中值不大h

x1x2x
≤
x1x2x

二、计算题1．方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或2方程在点011的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数3求下列方程所确定的隐函数的偏导数1xyz求Z对xy的一阶与二阶偏导数2Fxxyxyz0求和
f4设f是一元函数试问应对f提出什么条件方程2fxyfxfx在点11的邻域内就能确定出唯一的y为x的函数1试讨论方程组
yz22xy2xyz2
在点1－12的附近能否确定形如xfzygz的隐函数组5求下列方程组所确定的隐函数组的导数
x2y2z2a2yz1求22xxxyaxx2u2yv02y2v2xu0
3求
uvuvxxyy
求
ufuxvyvguxvy
2



uvxx
6求下列函数组所确定的反函数组的偏导数
xeuusi
v1求uxuyvxvyyeuucosv
xuv2yu2v2求zx33zuv
7设函数zzxy由方程组
xeuvyeuvzuvuv为参量所定义的函数求当u0v0时的dz
8设uv为新的自变量变换下列方程1xy
zzyxy0设ul
x2y2varctgxyx
2x
2
2z2zxy220设uxyv2yxy
9设函数uuxy由方程组ufxyztgyzt0hzt0所确定求
uu和xy
f10设u
xyz222v2w2其中rxyz2rrr
1试求以uvw为自变量的反函数组2计算
r