第六节正弦定理和余弦定理
考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
对应学生用书第50页
基础知识填充
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
公式
asi

bA＝si

cB＝si

C＝2RR为△ABC外接圆半
径
a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
1a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C；公式2a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；变形3si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR
cosA＝b2＋2cb2c－a2；cosB＝c2＋2ac2a－b2；cosC＝a2＋2ba2b－c2
2在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsi
A
bsi
A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3三角形常用面积公式
1S＝12ahaha表示边a上的高；
2S＝12absi
C＝12acsi
B＝12bcsi
A．
3S＝12ra＋b＋cr为内切圆半径．
知识拓展
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
f变形：A＋2B＝π2
C－2
2．三角形中的三角函数关系
1si
A＋B＝si
C；2cosA＋B＝－cosC；
A＋B
C
A＋B
C
2si
2＝cos2；4cos2＝si
2
3．在△ABC中，si
A＞si
BA＞Ba＞b
cosA＞cosBA＜Ba＜b
基本能力自测
1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”
1在△ABC中，若A＞B，则必有si
A＞si
B．
2在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．
3在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°
4在△ABC
a中，si

A＝si

a＋b－cA＋si
B－si

C

解析1正确．A＞Ba＞bsi
A＞si
B．2错误．由cosA＝b2＋2cb2c－a2＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．
3错误．由b＜a知，B＜A．
4正确．利用a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C，可知结论正确．
答案1√2×3×4√
2．教材改编在△ABC中，若si
2A＋si
2B＜si
2C，则△ABC的形状是
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
C由正弦定理，得2aR＝si
A，2bR＝si
B，2cR＝si
C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦
定理得cosC＝a2＋2ba2b－c2＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．
3．2016全国卷Ⅰ△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos
A＝23，则b＝

A．2
B．3
C．2
D．3
D由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，
f解得b＝3或b＝－13舍去，故选D．
4．2017全国卷Ⅲ△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________
75°
3
6
如图，由正弦定理，得si
60°＝si
B，∴si

B＝
22
又cb，∴B＝45°，∴A＝1r