一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B90°，AC60cm，∠A60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）能，t10；（3）t15或122
【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当ADAE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF90°和∠DEF90°两种情况讨论【详解】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C90°∠A30°，
∴AB1AC1×6030cm，22
∵CD4t，AE2t，又∵在Rt△CDF中，∠C30°，
∴DF1CD2t，∴DFAE；2
（2）能，∵DF∥AB，DFAE，∴四边形AEFD是平行四边形，当ADAE时，四边形AEFD是菱形，即604t2t，解得：t10，∴当t10时，AEFD是菱形；（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
f①如图1，∠EDF90°，DE∥BC，
则AD2AE，即604t2×2t，解得：t15，2
②如图2，∠DEF90°，DE⊥AC，
则AE2AD，即2t2604t，解得：t12，综上所述，当t15或12时，△DEF为直角三角形
2
2．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；
（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】
f（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF1BC，GH∥BC，GH1BC，推出
2
2
EF∥GH，EFGH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出
结论；
（2）由△APE与△BPE的底AEBE，又等高，得出S△APES△BPE，由△APE与△APF的底EPFP，又等高，得出S△APES△APF，由△APF与△CPF的底AFCF，又等高，得出S△APFS△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出
S△PGH1S△AEFS△APF，r