2a3e3
，
故
c1

a2
a32

a1
a32
i
e3

12
ia1e3

a2

a3ei
3



，c2

12
ia2e3

a3

a1
ei
3


，

故c2c1
i
e3
。同理可得c3c2

c4c3

c5c4

c6c5

c1c6
i
e3
，故C1C2C3C4C5C6是正六边形。
例3．求证：连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形
的顶点。
证明：首先可证明ABC是正三角形的充要条
C1
件是
zA
zB
2zC

0，其中

12
3i是1的三
A1
次方根，zA是A点对应的复数：若ABC是正三角形，则CA可由BC逆时针旋转1200得到，故
zAzCzCzBcos1202isi
1202zCzB，
AA2
整理得zAzB2zC0。反之亦然。由题可得
C
B1
C2
B
B2
zAzB2zC

12

zA1zA2

zB1zB2
2
zC1zC2
0，故ABC是正。
例4．已知ABC及其所在平面上另外两点PQ，abc是ABC的三边长，
求证：aPAQAbPBQBcPCQCabc。
证明：设ABCPQ依次对应复数z1z2z3zz，考虑关于复数z的函数
f
z

zz1zz1z2z1z3z1

zz2zz2z3z2z1z2

zz3zz3z1z3z2z3
，易知
f
z1

f
z2

f
z3
1，故
f
z
1，因此
zz1zz1z2z1z3z1

zz2zz2z3z2z1z2

3
f重庆一中高2011级奥赛平几讲义
第七讲
平几的复数证法

zz1

z3zz3z3z2z3

1，即

PA
bc
QA



PB
ca
QB



PC
ab
QC


1
，从而得证。
例5．设A1A2A
是圆心在点O，半径为1的圆内接正
边形的顶点，点
M
是射线OA1上且在圆外的一点，求证：

k1
1MAk



OM

。
证明：建立复平面，使OA1A2A
M分别对应复数012
1r，
其中cos2isi
2r1。则z
1z1zz
1，其中zC。




故
1

1

1

1


1

1
1
。
k1MAkk0rk
k0rk
r
1
r
OM
例6．平面上四点ABCD，动作Fx表示由目前所在点出发，笔直走到x
点，再左转900走相同距离。一人从P点出发，依次作FAFBFCFD，
FAFBFCFD，共作2008次后又回到P点。请问ABCD四点
的关系如何？
证明：设ABCDP对应的复数为abcdp，作
次动作后到达点P
，对
应复数p
，则p1ipaa1iaipp21ibip11ibiap，p31icip21icibaipp41idip31idicbiap。设q1idicbia，则p4qpp82qpp2008502qp。故q0，即dbica，因此将AC逆时针旋转900即得到BD。
例7．如图，RtABC与RtAB1C1反向
相似，C与C1为直角顶点，CABC1AB1。B
设BC1与B1C交于M，求证：AMCC1。
C
证明：如图建立复平面直角坐标系，设
A
M
B1
C1
OAair