数学竞赛训练题（中等数学201504）
1、函数gxx11x2的最大值是___；函数fx2x
ab2、已知43a16，log2a


x22x3的值域为__。
a1b，则a________。b
3、设实数x，y满足x28xy26y240，则x2y的最大值为________。
cosAcosB15AB，则ta
ta
________。si
Asi
B322ACBCACBC______。5、在△ABC中，已知AB10，边AB上的高为3，则当最小时，2345coscoscos6、coscos________。1111111111
4、在△ABC中，已知7、在正三棱锥PABC中，已知底面△ABC的边长均为6，各侧棱长均为5，则此正三棱锥的外接球半径为________；若I是侧面△PAB的内心，则四面体IABC的体积是________。8、已知过正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，记S的最大、最小值为Smax，Smi
，则Smax：Smi
。________9、已知正四棱锥PABCD的体积为1，E、F、G、H分别是线段AB、CD、PB、PC的中点，则多面体BEGCFH的体积为________。10、已知三个互异正整数构成等比数列，其和为111，则这三个数为________。11、将各位数字之和为5的正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则2012是其中的第________项。12、设
N，
2
5
12
5为完全平方数，则
________。
432
13、将十个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子（每次把十个球装完）中，要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数，则这样的装法种数为________。
a214、数列a
满足a11，
15、椭圆
1，且a
a
1a
12a
1a
1
2，则a41022
_______。
x2y21的内接正方形的面积为_________。259
16、设A、B为抛物线C：y24x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若FA4FB，则直线AB的斜率为________。17、设P是椭圆
x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O169
2
为中心，则PF1PF2OP________。
x2y218、过双曲线221a0b0的右焦点F2作B1B2⊥x轴，与双曲线交于点B1、ab
B2，B2与左焦点F1的连线与双曲线交于点B，连结B1B与x轴交于点H，则点H的横坐标为_____。
f19、已知xyR，且满足x1y11，求x21y21的最小值。



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20、已知△ABC的周长为1，且si
2Asi
2B4si
Asi
B。（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△ABC面积的最大值。
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21、解关于x的方程：cos

2

32x3cos4r