意值，故有
（7）
0hAH

H


12
g

T
2


1

（8）

357
可见与H
相应的hA的可能值为0与H
之间的任意值．
当


为偶数时，1

12
，由（6）式、（7）式求得
H

的可能值
3hA4H

H


12
g

T
2


1

（9）
2．若A点正好在最高点或最低点．
无论
是奇数还是偶数都有

246
T2
1

234
（10）
H


12
g
2

12
g
T2

2



1


234
（11）
hAH

H


12
g
2
T

2



1



234
（12）
或
hA0
（13）
解法二
因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时
刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小球通过某个位置的周期性．
设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为，从最高点下落至相片上小球所在点（A
点）所需时间为1，从A点下落至管底所需时间为2，则
f12
（1）
（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是、1和2）
从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间22后上升至A点，再经过时间21后又落
到A点，此过程所需总时间为21222．以后小球将重复这样的运动．小球周期性重复出现在A点的
周期是多少？分两种情况讨论：
（1）．12，1和2都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2．
（2）．12，小球经过时间22回到A点，再经过时间21又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为．
下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离hA的可能值．（如果从小球在上升过程
中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是1和2对调一下）1．H的可能值
（1）．较普遍的情况，12．T与2的比值应为一整数，的可能值应符合下式
Tk，k123L2
（2）
由自由落体公式可知，与此相应的Hk的数值为
Hk

12
g2

12
g

T2k
2

k123L
（3）
（2）．12．的可能值应符合下式Tk
故Hk的可能值为
k123L
（4）
Hk

12
g
2

12
g

Tk
2

k123L
（5）
当k为偶数时，即k246L时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的H的可能值包含了
12的全部情况和12的一部分情况．当k为奇数时，即k135L时，由（5）式得出的H的可能
值为
Hk

12
g

Tk
2
k135L
它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值．
（6）
f2．与各H值相应的hA的可能值
a与Hk相应的hA的可能值
由于在求得（3）式时未r