（2017全国卷三文数19）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD（1）证明：ACBD（2）已知ACD是直角三角形，ABBD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比
【答案】（1）取AC中点F，连接DFBF
ADDC，且F是AC中点DFAC。同理：BFAC在平面DFB中，DFBFFACDFB又BD面DFB，ACBD
（2）由题意，令ABBCACBD2a，即BF3a
CEAEF为AC中点，EF
1ACa2
在直角ACD中，DFa，BDF中有DF2BF2BD2DFBF
又EF
1VBDaE为BD中点ABCE12VACDE
（2017全国卷二文数18）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
ABBC
1ADBADABC90。2
（1）证明：直线BC平面PAD（2）若PCD面积为27，求四棱锥PABCD的体积。【答案】（1）在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD，又因为BC平面PADAD平面PAD，所以直线BC平面PAD2取AD的中点M，连结PM，CM，由ABBC
1AD及BCAD，2
ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，面PAD面ABCDAD，所以PMAD，PM面ABCD，CM面ABCD，所以PMCM。
1
f设BCx，则CMx，CD2x，PM3x，PCPD2x，取CD中点N，连结PN，则
PNCD，所以PN
14x。21214x27，2
因为PCD面积为27，所以2x
解得x2（舍去），x2，于是ABBC2AD4PM23所以四棱锥PABCD的体积V
1224234332
（2017全国卷一文数18）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为【解析】（1）由已知∠BAP∠CDP90，得ABAP，CDPD．由于AB∥CD，故ABPD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．
8，求该四棱锥的侧面积．3
（2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E由（1）知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD设ABx，则由已知可得AD
2x，PE
2x2
故四棱锥PABCD的体积VPABCD由题设得
11ABADPEx333
138x，故x233
2
f从而PAPD2，ADBC22，PBPC22可得四棱锥PABCD的侧面积为
1111PAPDPAABPDDCr