复变函数积分方法总结
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f复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
zxiyi1，xy分别称为z的实部和虚部，记作
xRezyImz。argzθ
θ称为主值π＜θ≤π，
Argargz2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式xrcosθ，
yrsi
θ故zrcosθirsi
θ；利用欧拉公式eiθcosθisi
θ。zreiθ。
1定义法求积分：
定义：设函数wfz定义在区域D内，C为区域D内起点为A终
点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成
个弧段，设分
点为Az0，z1，…，zk1，zk，…，z
B，在每个弧段zk1zkk12…

上任取一点k并作和式S
∑
k1fzkzk1∑k1
fzk记
max
zkzkzk1，弧段zk1zk的长度δ1≤k≤
Skk12…
当δ→0
时，不论对c的分发即k的取法如何，S
有唯一的极限，则称该极
限值为函数fz沿曲线C的积分为：

fzk
∫cfzdzlim∑k1
δ0
设C负方向即B到A的积分记作∫cfzdz当C为闭曲线时，fz
的积分记作∮cfzdzC圆周正方向为逆时针方向
例题：
计算积分1∫cdz
2∫c2zdz其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，∫cdz0
2
f∵fz1S
∑
k1fzkzk1ba
∴limS
ba即1∫cdzba

0
2当C为闭曲线时，∫cdz0fz2z沿C连续，则积分∫czdz存
在，设kzk1则
∑1∑
k1Z（k1）zkzk1
有可设kzk，则
∑2∑
k1Z（k1）zkzk1
因为S
的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
2
S
∑1∑2∑
k1zkzk2zk1
b2a2
∴∫c2zdzb2a2
12定义衍生1：参数法：
fzuxyivxy
∫cfzdz
zxiy带入∫cfzdz得：
∫cudxvdyi∫cvdxudy
再设ztxtiyt
α≤t≤β
β
dt
∫cfzdz∫αfztzt
参数方程书写：zz0z1z0t（0≤t≤1）
；zz0reiθ，0≤θ≤2π
例题1：
3i2
∫0
积分路线是原点到3i的直线段
zdz
解：参数方程z（3i）t
3i2
∫0
1
zdz∫03it23it′dt
1
3i3∫0t2dt
26
6i
3
1i
例题2：沿曲线yx2计算∫0
（x2iy）dz
3
fxt
解：参数方程yt2或ztit2
1i
0≤t≤1
1
∫0x2iydz∫0（t2it2）12itdt
1
1
1i∫0t2dtdt2i∫0t3dt
15
i
66
13定义衍生2重要积分结果：
zz0reiθ
0≤θ≤2π
，
由参数法可得：
∮c
∮c
dz
zz0

10
∫
1ii
θ
e
r
0
dθ

0
≠0
dz
z1z2
例题1r