241平面向量数量积的物理背景及其含义一
学习目标1了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功2掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义3会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直
知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图
思考1如何计算这个力所做的功？
答案W＝Fscosθ
思考2力做功的大小与哪些量有关？
答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关
梳理
条件
非零向量a与b，a与b的夹角为θ
结论数量abcosθ叫做向量a与b的数量积或内积
向量a与b的数量积记作ab，即ab＝abcos记法
θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
知识点二平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？答案如图所示，→OA＝a，O→B＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝bcosθbcosθ叫做向量b在a方向上的投影，acosθ叫做向量a在b方向上的投影
思考2向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同梳理1条件：向量a与b的夹角为θ2投影：

f
向量b在a方向上的投影向量a在b方向上的投影
bcosθ
acosθ
3ab的几何意义：数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积知识点三平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数当θ＝90°时，非零向量的数量积为零当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，1a⊥bab＝02当a∥b时，ab＝－aabb，a，与ab与同b反向向，3aa＝a2或a＝aa4cosθ＝aabb5ab≤ab
类型一求两向量的数量积例1已知a＝4，b＝5，当1a∥b；2a⊥b；3a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积解1a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，ab＝abcos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴ab＝abcos180°＝4×5×－1＝－202当a⊥b时，θ＝90°，∴ab＝abcos90°＝03当a与b的夹角为30°时，ab＝abcos30°r