2006年高中一年级数学竞赛试题及解析
（总分：150分，时量：120分钟）
第一卷选择题、填空题一、选择题（第小题7分）
1、已知函数ylog2x的反函数是yf1x，则函数yf11x的图象是（C）
解析：由已知可得，f
1
x2x，f11x21x2x1，gx2x与f1x2x关于y轴对称（或
，排出A、B，f11x21x2x1为减函数）11xx1又f1x22相当于gx2x向右平移了1个单位而得（或f11x21x2x1不过原点，排出D），故选C2、在（0，2π），使si
xcosx成立的x的取值范围为（C）A、

5424
B、

4

C、
5
44

D、

4

5342
解法一：运用特殊值法；解法二：利用三角函数的图象；
y
54
解法三：画单位圆
y
π54
π4
o
4
2

32
o
x
y
2
x
3、方程si
xA、1
x解的个数是（C2
B、2C、3
）D、4
x解析：先构造函数y1si
x和y2，2
再画出它们的图象，即可得交点个数选C4、在直角坐标系中，已知两点A（cos80°si
80°），B（cos20°si
20°），则AB的值是（D）

o

y
A
x2
1A、2
2B、2
3C、2
B
D、1
o
x
解法一：运用两点间的距离公式；解法二：作单位圆，则A、B是单位圆上位于第一象限的两点，∠AOB80°20°60°，所以△AOB是边长为1的等边三角形故选D5、已知二次函数fx（xa）（xb）2，m、
是方程fx0的两根，则a、b、m、
的大小关系可能是（A）A、mab
B、am
bC、amb
D、ma
b解法一：特殊值法；y解法二：设gx（xa）（xb），则a、b就是gx与x轴的两个交点的横坐标，fxgx2的图象，相当于gx的图象向下平移了2个单位，则m、
就是fx与x轴的两个交点的横坐标，由函数图象即可得
1
om
a
b
x
f出结果选A6、设0＜x＜π，则函数yA．3解法一：B．2
2cosx的最小值是si
xC．3
CD．23
因ysi
xcosx2，故
y21si
x2．
因0＜x＜π，故y＞0．
由si
x1，得
y212，于是y23．
又当y3时，3si
xcosx2si
x故ymi
3，选C．
．若x有2si
x2，636
1t2x1t213t213t3，解法二：设tta
，则y2t22t22t221t13x3t，即tta
当且仅当，亦即x时，取“”，故ymi
3，2t23232
选C．解法三：如图，单位圆中，∠MOtx0，P2r