高一拓展训练十二：双曲线的定义与标准方程
一、双曲线的定义【知识要点】1．双曲线的定义1定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2aa0小于
F1F22cc0的动点P的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点
间的距离叫做双曲线的焦距。
F、F2是两定点，且2定义解析：由定义可得动点P若满足PF1PF22a2c（1
0ac，ac均是常数），则动点P的轨迹是双曲线。
2．双曲线定义的说明1距离之差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若F1、F2表示双曲线左、右焦点，有两种情形；①若点P满足PF2PF12aa0，则点P在左支上，如图1所示；②若点P满足PF1PF22aa0，则点P在右支上，如图2所示；
2注意定义中的“小于F1F2”这一限制条件，其根据是“三角形两边之差小于第三边”①若2a2c，即PF1PF2F1F2，根据平面知识可得，动点轨迹是两条射线；②若2a2c，即PF1PF2F1F2，根据平面知识可得，动点轨迹不存在。【典例精析】例1已知点F150，F250，动点P满足PF1PF210，则动点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C两条射线D线段
变式训练：已知点F150，F250，动点P满足PF1PF26，则动点P的B双曲线C两条射线D线段
轨迹是（）A椭圆迹是（）A椭圆
变式训练：已知点F150，F250，动点P满足PF1PF26，则动点P的轨B双曲线的右支C双曲线的左支D两条射线
二、双曲线的标准方程【知识要点】1．双曲线的标准方程的推导以焦点在x轴上为例）可以类比椭圆的标准方程的推导方法分析。第一步：建系，以F1F2两点所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy；如图1所示。
f第二步：设点，设Pxy是双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2cc0，即F1F22c则
F1c0F2c0；又设PF1PF22aa0。
第三步：列式，由PF1PF22a，1PF22aa0得PF
2222即xcyxcy2a。
第四步：化简，整理得，c2a2x2a2y2a2c2a2，
22由双曲线的定义可知2c2a，因此ca，ca
222222222令cab，其中b0，代入上式可得bxayab
两边除以a2b2得，
x2y21a0b0。a2b2
注意：以上是假设焦点F1F2在x轴上所得到的双曲线的标准方程，同上可得如图2所
y2x2示，焦点在y轴上的双r