全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读
阅读时必须考虑的几个问题：1．步步皆要考虑“知其然之其所以然”。2解此题的关键步骤是什么？如何想到，是否应该想到这样的方法、这样的思路？3画图线条的如何取舍？4本题有什么特点？解法是否接触过？5分析思考各类定理的运用时机，运用条件。注意：思考过久（不超过15分钟为宜）不知其然，思考过久（不超过10分钟为宜）不知所以然，跳过！强调一下，不超过不是指一题不超过15分钟，是指从某一步推到另一步不超过的时间。例1（美国37届）设M、N、P分别是非等腰锐角△ABC的边BC、CA、AB的中点，AB、AC的中垂线分别与AM交于点D、E，直线BD、CE交于点F，且点Ｆ在△ＡＢＣ的内部。证明：Ａ、Ｎ、Ｆ、Ｐ四点共圆。证明：如图1，设△ＡＢＣ的外心为Ｏ。则∠ＡＰＯ＝∠ＡＮＯ＝900。于是Ａ、Ｐ、Ｎ在以ＡＯ为直径的圆上。因此，只要证明∠ＡＦＯ＝900。不妨设ＡＢ＞ＡＣ。由ＰＤ是ＡＢ的中垂线知，ＡＤ＝ＢＤ。同理，ＡＥ＝ＣＥ。设＝∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ，＝CAEACE。则BAC。在△ＡＢＭ和△ＡＣＭ中，由正弦定理得
BMABCMAC，。由于si
si
BMAsi
si
CMABMsi
AB。又因为ＢＭ＝ＣＭ，所以，CMsi
AC
如图2，在△ＡＢＦ和△ＡＣＦ中，由正弦定理得
BM
si
∠BMAsi
∠CMA，因此
A
PO
ED图1F
N
si
AC。si
AB
C
AFABAFAC。si
si
AFBsi
si
AFC
于是，
A
si
ACsiA
FB。从而，si
ABsiA
FC
DE2C，所以
B
si
AFBsi
AFC。
PODM图2FCEN
2因为ADF
EFD1802218。0BA2C
因此，∠ＢＦＣ＝2∠ＢＡＣ＝∠ＢＯＣ。于是，Ｂ、Ｏ、Ｆ、Ｃ四点共圆。0000又∠ＡＦＢ∠ＡＦＣ＝360－2∠ＢＡＣ180，则∠ＡＦＢ＝∠ＡＦＣ＝180∠ＢＡＣ，且∠ＯＦＢ＝∠ＯＣＢ＝90000－∠ＢＡＣ。故∠ＡＦＯ＝∠ＡＦＢ－∠ＯＦＢ＝（180∠ＢＡＣ）（90－∠ＢＡＣ）＝90。阅读提示：1）注意思路分析，思考步步的因果关系及正弦定理的运用时机，2）注意画图，思考作图关键点，训练画圆。
PB1A1A6B6A5
例2（0708匈牙利）已知凸六边形都是钝角，圆i1i6的圆心为Ai，圆i1相外切，其中，0617。连直线与过圆3的两个切点所连直线相
Q
A1A2A3A4A5A6所有的角
且圆i分别与圆i1和
R
B2
B5A4B3A3B4
A2
设过圆1的两个切点r