171勾股定理
第十七章勾股定理
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2b2＝c2
勾股定理的证明：
方法一：4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD
，41abba22
c2，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc22abc22
大正方形面积为Sab2a22abb2
∴a2b2c2
方法三：
S梯形

1a2
ba
b
，
S梯形

2SADE

SABE

2
1ab2
1c22
，化简得证
172勾股定理的逆定理
ba
c
acb
cb
a
ca
b
DC
H
E
G
F
b
a
A
c
B
AaD
cb
c
E
a
B
bC
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个
叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数
常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等
f例、在Rt△ABC中，a3，b4，求c．
错解由勾股定理，得ca2b242325
诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．
当∠B为直角时，cb2a242327
例、已知Rt△ABC中，∠BRT∠，a2，c22，求b
错解由勾股定理，得
Bc2a2222226
诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2c2”．殊不知，只有当∠CRt∠时，a2＋b2c2才能成立，而当∠BRt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2b2．
正确解答∵∠BRt∠，由勾股定理知a2＋c2b2．
∴bc2a22222210
例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x262＋82．
x6282366410
即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得
x6282366410cm
若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得
fx82622827cm因此，第三边的长度是10cm或者27cm
例、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC90°，AD是高，AM是中线，且AM1BC23AD又RT△ABC
2
3
的周长是623cm求AD．
错解∵△ABC是直角三角形，∴ACABBr