函数周期性、对称性与奇偶性的关系
一、函数图象的对称性一一个函数图象自身的对称性性质1：对于函数yfx，若存在常数ab使得函数定义域内的任意x，都有的图象关于直线xab对称
2
【注】：famxfbmxm0亦然【特例】当ab时，faxfaxfx的图象关于直线xa对称【注】fxf2ax亦然性质2：对于函数yfx，若存在常数ab使得函数定义域内的任意x，都有faxfbxfx的图象关于点ab0对称
2
【特例】当ab时，faxfaxfx的图象关于点a0对称【注】fxf2ax亦然事实上，上述结论是广义奇偶函数的性质性质3：设函数yfx，如果对于定义域内任意的x，都有famxfbmxabmR且m0，则yfx的图象关于直线xab对称这实际上是偶函数的
2
一般情形广义偶函数性质4：设函数yfx，如果对于定义域内任意的x，都有famxfbmxabmR且m0，则yfx的图象关于点ab0对称实际上是奇函数的一
2
般情形广义奇函数【小结】函数对称性的充要条件
f函数关系式xR
对称性
fxfx
函数fx图象是奇函数
fxfx
函数fx图象是偶函数
fxf2ax
函数fx图象关于直线xa对称
或faxfax
fx2bf2ax
函数fx图象关于点Pab对称
或fax2bfax
【注】：这里代数关系式中两个“f”（对应法则）内的“x”（变量）前的正负号
相异，如果把两个“f”放在“”的两边，则“f”前的正负号也相异因为对称性关
乎翻转
二两个函数图象之间的对称性
1函数yfx与yfx的图象关于直线y0对称
2函数yfx与yfx的图象关于直线x0对称
3函数yfx与yfx的图象关于原点00对称
4函数yfx与它的反函数yf1x的图象关于直线yx对称
5函数yfamx与yfbmx的图象abmRm0关于直线xba对称
2m
特别地，函数yfax与yfbx的图象关于直线xba对称
2
二、几个函数方程的周期
1若
fx

fxa，或
fx
a


fx
a，则
fx的周期T
a
；
2
2
f2若fxfxa0，或fxa1fx，或fxafxa，或
1fx
2
2
f
xa
f
xa，或
f
xa
f
1
x

f
x

0
，或

f

axfax，或
fx为偶函数

f
axfafx为奇函数
x
，
或

f

af
xfax为偶函数
x
，或
12

fxf2xfxafx01，则fx的周期
T2a；
3若fx11fx0，则fx的周期T3a；
fxa
4若

f
r