不宜过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现
（2）无支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
受力：由mgTmv2L知小球速度越小绳拉力或环压力T越小但T的最小值只能
为零此时小球以重力提供作向心力
结论：通过最高点时绳子或轨道对小球没有力的作用可理解为恰好通过或恰
好通不过的条件，此时只有重力提供作向心力注意讨论：绳系小球从最高点
抛出做圆周还是平抛运动。
能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）不能过最高点条件：VV临实际上球还未到最高点就脱离了轨道
讨论：①恰能通过最高点时：mgmv临2，临界速度V临gR；R
可认为距此点hR
2
或距圆的最低点h5R处落下的物体。
2
☆此时最低点需要的速度为V低临5gR☆最低点拉力大于最高点拉力Δ
F6mg
②
最高点状态
mgT1
m
v高2L
临界条件T10临界速度V临
gRV≥V临才能
通过
最低点状态
T2
mg

mv低2L
高到低过程机械能守恒
12
mv低2

12
mv高2

mg2L
T2T16mgg可看为等效加速度
②
半圆：过程mgR1mv22
最低点Tmgmv2R
绳上拉力T3mg；过低点的速
度为V低2gR
f小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a2g
③与竖直方向成角下摆时过低点的速度为V低2gR1cos
此时绳子拉力Tmg32cos（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用（由
mgN

U2m
知）
R
当V0时，Nmg（可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
②当0vgR时，支持力N向上且随v增大而减小，且mgN0
③当vgR时，N0
④当vgR时，N向下即拉力随v增大而增大，方向指向圆心。
当小球运动到最高点时，速度vgR时，受到杆的作用力N（支持）但Nmg，（力的大小用有向线段长短表示）
当小球运动到最高点时，速度vgR时，杆对小球无作用力N0
当小球运动到最高点时，速度v＞gR时，小球受到杆的拉力N作用
恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R1mv22
低点：Tmgmv2RT5mg；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低2gR
注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别：
以上规律适用于物理圆但最高点最低点g都应看成等效的情况
2．解决匀速圆周运动问题的一般方法（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向r