初三数学竞赛试题2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
A．B．
C．D．
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2．【答】A
，
易知：当，时，取得最大值
4．【答】B若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法
6．【答】A过作于，易知△≌△，△∽△设，则，，，，故，即又，故可得故
1．【答】0由题意知，所以
2．【答】144
由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以当时，由可得，可取唯一整数值127故满足条件的正整数的最大值为144
4．【答】36设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，
又，故，即
注意到，所以或
若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去
解由已知条件可得，
设，，则有，，
……………………5分
若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数
根；
……………………15分
若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根所以
f
……………………20分
解取，，可得，所以1具有性质
取，，可得，所以5具有性质…………………5分
为了一般地判断哪些数具有性质，记，则
＝

即
……………………10分
如果，即，则有；
如果，即，则有；
如果，即，则有；
由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质
因此，1，5和2014都具有性质
……………………20分
若2013具有性质，则存在整数使得注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质……………………25分
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
，易知：当，时，取得最大值
f【答】B
若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种
A．B．
C．D．
【答】A
设，则，，，，故，即又，故可得
故
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