数学高考综合能力题选讲19
二次曲线与二次曲线
100080北京中国人民大学附中题型预测
高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题两圆的交点除外”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．
梁丽平
范例选讲例1．讨论圆C1xay21与抛物线C2y2x的位置关系．
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讲解：圆C1xay21是以a0为圆心，1为半径的圆，从草图不难
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发现，当a1时，圆与抛物线无公共点；当a1时，圆与抛物线相切；当1a1时，圆与抛物线相交；而当a1时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组
xa2y21的解的个数来加以说明．2yx
把y2x代入xay21，整理得：x2x12aa210（＊）．
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此方程的判别式54a．555可以看到：当a时，0；当a时，0；当a时，0．44455事实上，当a时，的确有圆与抛物线相切；当a时，圆与抛物线无公445共点．而当a时，虽然有方程（＊）的0，但圆与抛物线却并不总有公共4点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件x0．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．
f综上，圆C1xay21与抛物线C2y2x的位置关系如下：
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5时，圆与抛物线无公共点；a1时，当圆与抛物线相切（只4有一个公共点）；当1a1时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当a1时，5圆与抛物线相交（三个公共点）当1a时，；圆与抛物线相交（四个公共点）；45当a时，圆与抛物线相切（两个公共点）．4点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．
当a1或a
x2y23例2．已知椭圆C1221ab0，它的离心率为．直线3ab
lyx2，它与以原点为圆r