1已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠A＝30，点P在AC上，且∠MPN＝90．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）当PC＝2PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
2平行四边形
ABCD的对角线交于点O点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P作平行于AC的直
线，交直线AD于点E交直线BA于F当点P在线段BD上时，易证：ACPEPF图1。当点P在线段BD延长线上（图2）和当点P在线段DB延长线上（图3）两种情况，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图3的结论加以证明。FAPFDBCEDD
A
PF
CBF
3梯形ABCD中，AD∥BCABCD1若PEF分别是BC、AC、BD的中点，易证：ABPEPF图1（2）若P是BC上一点，PE∥ABPF∥CD1中的结论是否成立？（图2）（3）若P是CB延长线上一点，PE∥ABPF∥CDAB、PE、PF之间又有怎样的关系？（图3）
AFEBAPDBA
DBAC
F
f4等腰△ABCABAC8∠BAC120P为BC中点，小惠拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，问△BPE与△CFP是否相似。（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F。①探究1：△BPE与△CFP是否相似？写出结论。②探究2：连接EF，△BPE与△PEF是否相似？说明理由。
0
0
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EEAFFBPCBPCA
5已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝27，求ta
∠ACP的值．。
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