．
f设
，则g′（x）
≥0，仅当x0时g′（x）0，所以g（x）在（∞，∞）单
调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a1）
，f（3a1），故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．【解析】分析：（1）将代入，求导得
，令
求得增区间，令
求得减区间；（2）
令
，即
，则将问题转化为函数
只有一个零点问题，
研究函数单调性可得
详解：（1）当a3时，f（x）
，f′（x）
．
令f′（x）0解得x
或x
．
当x∈（∞，
）∪（
，∞）时，f′（x）0；
当x∈（
，
）时，f′（x）0．
故f（x）在（∞，
），（
，∞）单调递增，在（
，
）单调递减．
（2）由于
，所以
等价于
．
设
，则g′（x）
≥0，仅当x0时g′（x）0，所以g（x）在（∞，∞）单
调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a1）
，f（3a1），故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由
（或
）解出相应的的取值范围，当
时，在相应区间上是增函数；当
时，在相应区间
上是减增函数
（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先
证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22选修4－4：坐标系与参数方程
f在直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数），直线的参数方程为
（为
参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为
【答案】解：
，求的斜率．
（1）曲线的直角坐标方程为
．
当
时，的直角坐标方程为
，
当
时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则
．
又由①得
，故
，于是直线的斜率
．
【解析】分析：1根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线
的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与
两种情况2将直线参数方程代入曲线的
直角坐标方程，根据参数几何意义得
之间关系，求得，即得的斜率．
详解：（1）曲线的直角坐标方程为
．
当
时，的直角坐标方程为
，
当
时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角r