道为
随机信道。由于信息码元序列是一种随机序列，接收端是无法预知的，也无法识别其中有无
错码。为了解决这个问题，可以由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元。
这些监督码元和信码之间有一定的关系，使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或
纠正可能存在的错码。在信息码元序列中加入监督码元就称为差错控制编码，有时也称为纠
错编码。不同的编码方法有不同的检错或纠错能力。有的编码就只能检错不能纠错。
那么，为了纠正一位错码，在分组码中最少要增加多少监督位才行呢？编码效率能否提
高呢？从这种思想出发进行研究，便导致汉明码的诞生。汉明码是一种能够纠正一位错码且
编码效率较高的线性分组码。下面我们介绍汉明码的构造原理。
一般说来，若码长为
，信息位数为k，则监督位数r＝
k。如果希望用r个监督位构
造出r个监督关系式来指示一位错码的
种可能位置，则要求
2r1≥
或2r≥kr1
（8－1）
下面我们通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。
设分组码
，k中k＝4，为了纠正一位错码，由式（8－1）可知，要求监督位数r≥3。
若取r3，则
kr7。我们用α6α5…α0表示这7个码元，用S1、S2、S3表示三个监督关系式中的校正子，则S1S2S3的值与错码位置的对应关系可以规定如表181所列。
S1S2S3
错码位置
表81
S1S2S3
错码位置
f001
α0
101
α4
010
α1
110
α5
100
α2
111
α6
011
α3
000
无错
由表中规定可见，仅当一错码位置在α2、α4、α5或α6时，校正子S1为1；否则S1为
0。这就意味着α2、α4、α5和α6四个码元构成偶数监督关系
S1＝α6α5α4α2
（8－2）
同理，α1、α3、α5和α6构成偶数监督关系
S2＝α6α5α3α1
（8－3）
以及α0、α3、α4和α6构成偶数监督关系
S3＝α6α4α3α0
（8－4）
在发送端编码时，信息位α6、α5、α4和α3的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监
督位α2、α1和α0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上三式中S1、S2和
S3的值为零（表示变成的码组中应无错码）
α6α5α4α2＝0
α6α5α3α1＝0

α6α4α3α0＝0
18－5）
由上式经移项运算，解出监督位
α2＝α6α5α4
α1＝α6α5α3

α0＝α6α4α3

给定信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果如表82所列。
（8－6）
信息位α6α5α4α3
监督位α2α1α0
表82
信息位α6α5α4α3
监督位α2α1α0
f0000
000
1000
111
0001
011
1001
100
0010
101
1010
010
0011
110
1011
001
0100
110
1100
001
0101
101
1101
010
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