竞赛讲座05－几何解题途径的探求方法
一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想象是促进人类发展的伟大天赋。”解题一项创造性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指：1．全面地设想设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的大致方向，构思各种不同的处理方案。例1．在ABCD中，ABAC，D是BC边上一点，E是线段AD上一点，且
BED2CEDBAC，求证：BD2CD（92年全国初中联赛试题）
例2．在ABC中，ABAC，A的外角平分线交ABC的外接圆于D，DEAB于E。求证：AE
ABAC（89年全国高中联赛试题）2
CD的斜边上取一点D，使ABD和A
的内切圆相等。证明：SABCAD2
BC3．在RtA
（31届IMO备选题）例4．设A是三维立体abc的长方体砖块。若B是所有到A的距离不超过1的点的集合（特别地，B包含A），试用abc的多项式表示B的体积（84年美国普特南数学竟赛试题）2．广泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其相关的各种不同的事物，进行由此彼的思索。在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知命题，并设法将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。例5．在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C的大小成等比数列，且baac，求角B（85年全国高中联赛试题）
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例6．四边形ABCD内接于o，对角线ACBD于P，E是CD的中点，
OFAB于F。求证：PEOF（78年上海高中竟赛试题）
例7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F在棱AA1上，且
f求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角。（85年全国高中联赛试题）A1FFA12，例8．设A1A2A3A4为0的内接四边形，H1H2H3H4依次为
A2A3A4A3A4A1A4A1A2A1A2A3的垂心。求证：H1H2H3H4四点在同一个圆
上，并确定该圆的圆心位置。（92年全国高中联赛试题）3．大胆地猜测想猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的德国数学家高斯就曾深有体会地说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。”“若无某种放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”在解r