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锐角三角函数与圆综合训练题例题一2013泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA∠CBD．（1）求证：CD2CACB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC12，ta
∠CDA，求BE的长．
分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE长度即可．
解答：（1）证明：∵∠CDA∠CBD，∠C∠C，∴△ADC∽△DBC，∴，即CD2CACB；（2）证明：如图，连接OD．
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∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB90°，∴∠1∠390°．∵OAOD，∴∠2∠3，∴∠1∠290°．又∠CDA∠CBD，即∠4∠1，∴∠4∠290°，即∠CDO90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴EDEB，OE⊥DB，∴∠ABD∠DBE90°，∠OEB∠DBE90°，∴∠ABD∠OEB，∴∠CDA∠OEB．而ta
∠CDA，∴ta
∠OEB，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴，∴CD8，在Rt△CBE中，设BEx，∴（x8）2x2122，解得x5．即BE的长为5．
例题二如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线
于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B∠CAE，EF：FD4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD10，求半径CD的长．
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（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B∠CAE，易证得∠ADE∠DAE，即可得EDEA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF4k，df3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2k（105k），解此方程即可求得答案．
解（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，答：∴∠1∠2，
∵∠ADE∠1∠B，∠DAE∠2∠3，且∠B∠3，∴∠ADE∠DAE，∴EDEA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF4k，df3k，
则ED
5k，
∵ADEFAEr