北师大版七年级下册数学培优压轴题
一．解答题（共8小题）1．已知四边形ABCD中，ABBC，∠ABC120°，∠MBN60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
2．（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，∠B∠D90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD．求证：EFBEFD；
（2）如图，在四边形ABCD中，ABAD，∠B∠D180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，ABAD，∠B∠ADC180°，E、F分别是边BC、
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fCD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C90°，
∠B∠E30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是
；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是
．
（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC60°，点D是角平分线上一点，BDCD4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCFS△BDE，请直接写出相应的BF的长．
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f4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），
分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP
；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQCα，那么α的大小是否会随点P的移
动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），
此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
5．如图1，Rt△ABC中ABAC，点D、E是线段AC上两动点，且ADEC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中r