正交因为00，所以零向量与任何向量都正交例1．在R中，设21042，34213，则有
5
2314024123640460
故与正交又有对任意0，有
41016425
2
故的长度为
255
11，故为单位向量
定义4若向量组a1a2am两两正交，则称其为正交向量组若向量a1a2am两两正交且都是单位向量时，则称其为规范正交组显然有
0ija1a2am为规范正交组ij1ij

例2．在R中，以下
个单位向量是规范正交组：
11002010
001
因为这个向量组又是R中的基，因此又称为R中的规范正交基在R中，通常记i100j010，k001，它们是三坐标轴上的单位向量，它们构成R中一个规范正交基以下的向量组
33

2
f1100，20
3
12

12
，30
1122
容易验证是规范正交组，也是R的规范正交基定理1若a1a2am是由非零向量组成的正交组，则它们必定线性无关证设数k1k2km使k1a1k2a2kmam0，则有
k1a1k2a2kmami0i0，i12m
根据内积性质，有
k11ikiiikmmi0
因为ji时，ji0，上式成为kiii0，因为i0，所以ii0，故有
ki0i12…m因此，a1a2am线性无关（证毕）
由此可知，规范正交组必是线性无关组，但反之不成立有时需要由一个线性无关向量组
a1a2am
构造出一个与之等价的规范正交组
e1e2em
这个问题称为将向量组a1a2am规范正交化斯密特（Schimidt）规范正交化的方法如下：取11，
22
211，11311322，1122m11mm1m111m1m1
33
…………………………………………
mm
容易验证1m两两正交，且与向量组1m等价再把它们单位化，即取
e1
1e22emm12m
则e1e2em为规范正交组，并且与a1a2am等价例2．在R中，设
3
1110T2101T3112T
试用斯密特方法，将其规范正交化解取11110
T
3
f22
33
r