竞赛讲座16－不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。（1）差值比较法原理A－B＞0A＞B．
【例1】（l）m、
是奇偶性相同的自然数，求证：（a＋b）（a＋b）＜2（ab）。
mm
m
m

（2）证明：


≤
。
【例2】设a1≤a2≤≤a
，b1≤b2≤≤b
，j1j2j
是12
的任意一个排列，令
Sa1
a2
a

，S0a1b
a2b
1a
b1，S1a1b1a2b2a
b
。
求证：S0≤S≤S1。（2）商值比较法
原理
若
1，且B0，则AB。
f【例3】已知abc0，求证：abc≥abc。2．分析法
2a2b2c
bccaab
【例4】若xy0，求证：

4
。
44222222
【例5】若abc是△ABC的三边长，求证：abc2abbcca。3．综合法【例6】若abc0，求证：abc≥abcbcacab。
【例7】已知△ABC的外接圆半径R1，S△ABC
，abc是△ABC的三边长，令
S求证：tS。4．反证法
，t
。
【例8】已知ab2，求证：ab≤2。5．数学归纳法
3
3
【例9】证明对任意自然数
，二、不等式证明的若干技巧
。
无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1．变形技巧
【例1】若
∈N，S


，
f求证：
S
1。【例2】（1）若A、B、C∈0，π，求证：
si
Asi
Bsi
C≤3si

。
（2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘B’C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。2．引入参变量【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。
222222
【例4】在△ABC中，求证：abc≥4
△bccaab。
其中，abc是△ABC的三边长，△S△ABC。3．数形结合、构造
【例5】证明：4．递推
≤
。
【例6】已知：x1三、放缩法
，x2
，r