第3讲函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝fx，那么函数fx是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝－fx，那么函数fx是奇函数
关于原点对称
2周期性1周期函数：对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个函数的周期．
2最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．
导师提醒1．牢记一个规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶
性的必要不充分条件．2．掌握两个性质1若奇函数fx在x＝0处有定义，则f0＝0
2设fx，gx的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．会用函数周期性的三个结论对fx定义域内任一自变量的值x，
1若fx＋a＝－fx，则T＝2aa＞0．2若fx＋a＝1，则T＝2aa＞0．
f（x）
f3若fx＋a＝－1，则T＝2aa＞0．f（x）
判断正误正确的打“√”，错误的打“×”
1若fx是定义在R上的奇函数，则f－x＋fx＝0
2偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
3如果函数fx，gx为定义域相同的偶函数，则Fx＝fx＋gx是偶函数．
4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
5若T是函数的一个周期，则
T
∈Z，
≠0也是函数的周期．
6函数fx在定义域上满足fx＋a＝－fxa0，则fx是周期为2a的周期函数．
答案：1√2×3√4√5√6√
定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2si
x中，奇函数的个数是
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选C由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2si
x为奇函数．
已知fx＝ax2＋bx是定义在a－1，2a上的偶函数，那么a＋b的值是
A．－13
1B3
1C2
D．－12
解析：选B因为fx＝ax2＋bx是定义在a－1，2a上的偶函数，
所以a－1＋2a＝0，所以a＝13
又f－x＝fx，所以b＝0，
所以a＋b＝13
教材习题改编已知函数fx是奇函数，且在0，＋∞上是减函数，且在区间a，
bab0上的值域为－3，4，则在区间－b，－a上
A．有最大值4
B．有最小值－4
C．有最大值－3
D．有最小值－3
解析：选B法一：根据题意作出y＝fx的简图，由图知选B
f法r