首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天（2004年7月10日8：0012：00温州）一、设实数a、b、c满足a22b23c23，求证：3a9b27c1
2
二、设D是ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DEDF，求证：DMDN
三、（1）是否存在正整数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有
a2
1

2a
a
2
。
（2）是否存在正无理数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有
a2
1

2a
a
2
。
四、给定大于2004的正整数
，将1、2、3、…、
2分别填入
×
棋盘（由
行
列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天（2004年7月11日8：0012：00温州）
五、已知不等式22a3cos
6
2si
23a6对于
4si
cos


0
2

恒成立，求
a
的取值范围。
六、设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：CDEFDFAEBDAF
七、
支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，求
的最大值。
注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。
八、求满足xyyzzu0，且1x、y、z、u10的所有四元有序整数组xyyzzu
（xyzu）的个数。
１
f答案
一、由柯西不等式，
a2b3c2
2
1
2
2
2
3

1a2
2b23c29
所以，a2b3c3，所以3a9b27c333a2b3c33331
二、证明：
对AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理
A
得：APDEMB11，
PDEMBA
P
对AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理
得：ACFNDP12，
M
CFNDPA
B
对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理
C
D
N
F
得：ABMDFC13BMDFCA
（1）（2）（3）式相乘得：DEFNMD1，又DEDF，所以有EMNDDF
DMDN，所以DMDN。DMDEDNDE
三、（1）假设存在正整数数列a
满足r