函数的极值和最值及其应用
函数极值的定义
设函数fx在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有fxfx0，则fx0是函数fx的一个极大值。如果附近所有的点，都有fxfx0，则fx0是函数fx的一
个极小值，极大值与极小值统称为极值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。
若函数f在点x0处可导，且x0为f的极值点，则fx00这就是说可导函数在点取极值的必要条件是fx00
函数最值的定义
设函数fx在X区间上有定义，如果存在一点x0X，使得fx0不小于其他所有的fx，亦即fx0fxxX，
则称fx0是在X上的最大值，又可记为fx0maxfx；
同样使得fx0不大于其他所有的fx，亦即fxofxxX，
则称fx0是在X上的最小值，又可记为fx0mi
fx
注意：函数fx在X上未必一定有最大（小）值。
最值和极值的联系与区别
（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；（2）极值未必是最值；（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。
函数极值、最值的求解方法
1、降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二
元函数求解。
1
f例1：已知xy2，求函数zy22x2的极值。
解：由题设得y2x，代人y22x2得
z2x22x2x228x2280222x222
即函数的定义域为：222222
当x2时，zmax22
当x222时，zmi
0
2、转化法
在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的
问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。
例2：求函数x210x50x225的极小值
解：设y5x225x225
令z15x5iz2x5i
则：yz1z2z1z2510i55ymi
55例3：求函数y1si
x的极值
2cosx解：原函数化为：2yycosx1si
x
2y1si
xycosx1y2si
x，其中ta
y
2y11y2解得：0y43
ymi

0ymax

43
3、换元法
换元法是把问题进行转化的一种常用方法。
例4：已知x22y21，求z3x4y的极值解：x22y21x2y21
12
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