习题811写出下列二次型的矩阵表示：1fxyax2bxycy
2222
2fxyzaxbycz2dxy2exz2fyz
222
3fx1x2x33x1x24x1x22x1x35x2x34fx1x2x3x4x1x2x3x4a解：fxyxy1bbcax2fxyzxyzdye21
5212
dbf
efc
3fx1x2x3
3x1x2x321
1x15x220x3000
12
4fx1x2x3x4
012x1x2x3x400
000
00Tx1x2x3x4120
12求矩阵A14
920
2
212对应的二次型，写出该二次型的矩阵并求出该二次型的秩3
22
解：fxyzx2y3z8xy6xz12yz1该二次型的矩阵为A43证明：A是可逆对称矩阵AA
T
426
36RA33
1
3设A为数域F上的一个
阶可逆对称矩阵，证明A与A合同
故有AAAAAAA，得证
T
1
1
4设A为一个
阶对称矩阵，如果对任意一个
维列向量X，都有XAX0，试证明A0
T
证明：由于A是对称的，且XAX0，
T
即a11x12a12x1x22a1
x1x
a22x22a2
x2x
a
x
0
222
这说明XAX为一个零多项式，故有a11a22a
0
T
2aij0aijaji0即A05证明：11在实数域R上，矩阵001与矩阵100不是合同的1
f12在复数域C上，矩阵01证明：假设001与10
01与矩阵10
0是合同的1
0在数域F上合同1a121sta22001TP100P101
a11故存在可逆矩阵Pa211T又由P0
220a11a21P1a11a12a21a22
a11a12a21a22122a12a220
22a11a2111故有a11a12a21a222a2a2132212
再由12得a11a21a21a22a21a2214
222222
将3r