一、函数的单调性
1增函数和减函数一般地，设函数fx的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有
fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有
fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是减函数
2函数的单调性与单调区间如果函数yfx在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数yfx在这一区间具有
单调性，区间D叫做yfx的单调区间
（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域如：yx在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：yx在定义域（∞，∞）上不具有单调性，但在（∞，0上是减函数，在0，∞）上是增函数（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x1，x2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由fx是增
函数且f（x1）f（x2）x1x2
（4）有的函数不具有单调性，如函数
y1，x
为有理数，它的定义域为
R，但不具有单调
0，x为无理数
性，函数yx1x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性
（5）如果函数fx在其定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）
在A∪B上是增（减）函数，例如fx1在（∞，0）上是减函数，在（0，∞）上是减函
x
数，但是不能说其在（∞，0）∪（0，∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（
∞，0），（0，∞）”或“（∞，0）和（0，∞）”
（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数fx，从左向右看，其图像时上升的，单调
递减的函数fx，从左向右看，其图像时下降的
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f
（7）函数在某一点处的单调性无意义
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f
例1：如图，是定义在55上的函数yfx的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数yfx的单调性
3判断函数单调性的方法定义法：①取值：在指定区间内任取x1，x2，且令x1x2②做差变形：将fx1fx2进行化简变形，变形后判断fx1fx2的正负③定号：确定fx1fx2的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论④判断：根据增减函数的定义做出结论例2：用单调性的定义求函数fx2x4x在1∞）上的单调性
例3：利用函数单调性的定义证明函数fxx12在（∞，0r