解数学题的高境界是玩数学题，而不是盲目地多解题。
一道椭圆最值习题的多种解法及其变式
题目：已知P为椭圆
x2y21上任意一点，F1F2是椭圆的两个焦点，求：4
2
（1）PF1PF2的最大值；（2）PF1
PF2的最小值
2
本题是人教B版选修21第48页习题22B组第5题，本文给出六种解法，并给出一组有深度的变式练习。供教师读者备课参考及供数学爱好者欣赏、玩味。解法1：由题意知：a2由椭圆的定义，得
PF1PF2224
（1）PF1PF24
PF1PF2
PF2PF242
2
当且仅当PF1PF22时，取“”
PF1PF2的最大值是4
（2）PF1PF24
PF1
2
PF2
2
PF1PF222PF1PF2162PF1PF2
2

PFPF2162228
当且仅当PF1PF22时，取“”
PF1PF2的最小值是8
解法2：由题意知：a2b1
c
2
2
a2b2
32
3PF12
3
由椭圆的定义，得
PF1PF2224
PF24PF1
1
f解数学题的高境界是玩数学题，而不是盲目地多解题。
（1）PF24PF1
PF1PF2PF14PF1PF1
2
4PF13PF123
PF12242
当PF12时，PF1PF2有最大值4
（2）PF24PF1
PF1
2
PF2
2
PF1
2
2
4PF12
2PF1
8PF1163PF123
2PF12282
22
当PF12时，PF1PF2有最小值8
解法3：由题意知：a2由椭圆的定义，得
PF1PF2224
（1）PF1PF24

PF1PF2
21PF1PF2PF1PF24214PF1PF24




2


当PF1PF22时，PF1PF2取得最大值是4
（2）PF1PF24
PF1
2
PF2
2

1PF1PF22PF1PF22218PF1PF222
22
当PF1PF22时，PF1PF2取得最小值是8
解法4：由题意知：a2b1
c
a2b2
3F130F230
2
f解数学题的高境界是玩数学题，而不是盲目地多解题。
设Pxy2x2则
PF1（x32y2

x223x31
32x23x443x223x2
2
x24
22
3x2由椭圆的定义，得
PF22
3x2
32x2
31PF1PF22x234x242x2
当x0时，PF1PF2有最大值4
2PF1
2
PF2
2
33r