两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角的三角函数值暗示
的正弦或余弦值这正是两角和差的正余弦公式的功能。换
言之要推导两角和差的正余弦公式就是希望能得到一个等式或方程将
或
与的三角函数联系起来。
根据诱导公式由角的三角函数可以得到的三角函数。因此由和角公式容易得到对应的
差角公式也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为
即原角的余弦等于其
余角的正弦据此可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此只要解决这组公式中的一个其
余的公式将很容易得到。
一在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易暗示和值暗示因此我们可以用单位圆来构造联系
而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数与的三角函数值的等式。
1和角余弦公式
方法1如图所示在直角坐标系中作单位圆并作角
交于点A终边交于点B；角始边为终边交
边交于点。从而点ABC和D的坐标分别为



。
和使角的始边为于点C；角始边为终
由两点间距离公式得
；
f。
注意到
因此
。
注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段从而得到我们所要的等式。注意公式中的和为任意角。
2差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段也可以得到我们希望的三角等式。这就是
方法2如图所示在坐标系
中作单位圆并作角和使角和的始边均为
交于点C角终边交于点A角终边交于点。从而点AB的坐标为

。
由两点间距离公式得
。由余弦定理得
。
从而有
。
注记：方法2中用到了余弦定理它依赖于
是三角形的内角。因此还需要弥补讨论角
和的终边共线以及
大于的情形。容易验证公式在以上情形中依然成立。在上边
的证明中用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。
f二在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。
1和角正弦公式一
方法3如图所示为
的边上的高为边上的高。设


则。从而有



f。
因此

。
注意到

从而有：

整理可得：
。
注记：在方法3中用和与底角相关的三角函数从两个角度来暗r