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浅谈函数与方程思想在解题中的应用
作者：王佩其来源：《中学课程辅导高考版学生版》2014年第05期
数学解题，要善于运用最基本的数学思想与方法，比如：函数与方程思想，它的运用能帮助我们用运动和变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，让我们解题更容易找到突破口那么，函数与方程思想主要能解决哪些基本问题呢？
一、最值或参数的范围
例1长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB〖TX（〗（劣弧）上，OCmOA
OB，则m
的取值范围是
思维流程：
〖XCDP1TIF〗
解析：建立平面直角坐标系，设向量OA（2，0），向量OB（1，〖KF（〗3〖KF）〗）设向量OC（2cosα，2si
α），0≤α≤〖SX（〗π3
由OCmOA
OB，得（2cosα，2si
α）（2m
，〖KF（〗3〖KF）〗
），
即2cosα2m
，2si
α〖KF（〗3〖KF）〗
，
解得mcosα〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗si
α，
〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗si
α
故m
cosα〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗si
α〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3si
（α〖SX（〗π3）∈1，〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3
评注：求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域
二、图象交点或方程根的问题
例2设函数f（x）〖SX（〗1x，g（x）x2bx，若yf（x）的图象与yg（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（填序号）
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（1）x1x20，y1y20
（2）x1x20，y1y2
（3）x1x20
（4）x1x2
思维流程：
〖XCDP2TIF〗
解析：由于函数yf（x）的图象在一、三象限且关于坐标原点对称，函数yg（x）的图象过坐标原点，结合函数图象可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2
问题即为方程x2bx〖SX（〗1x仅有两个不同的实根，即方程x3bx210有一个二重根、一个单根根据方程根的理论，如果x1是方程x3bx210的二重根，x2为一个单根，则x3bx21（xx1）2（xx2）x3（2x1x2）x2（x212x1x2）xx21x2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得x21x21，则x20，所以x1x20，y1y2
评注：函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题转化为函数的零点问题也是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用
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