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浙江历年理科高考题
立体几何
1、(2005年)18.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
Ⅰ当k=1时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;2
Ⅱ当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?解:方法一:
Ⅰ∵O、D分别为AC、PC中点,OD∥PA
又PA平面PAB,OD∥平面PAB
ⅡABBC,OAOC,OAOBOC,
又OP平面ABC,PAPBPC
取BC中点E,连结PE,则BC平面POE
作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBC
ODF是OD与平面PBC所成的角
又OD∥PA,PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF,
在RtODF中,si
ODFOF210OD30
A
PA与平面PBC所成的角为arcsi
21030
(Ⅲ)由Ⅱ知,OF

平面PBC
,∴F

O
在平面
PBC
内的射影新疆王新敞
奎屯
P
D
F
O
C
EB
∵D是PC的中点,若点F是PBC的重心,则B,F,D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,
OB

PCPC

BDPB

PC
,即
k
1
新疆王新敞
奎屯
反之,当
k
1时,三棱锥
O

PBC
为正三棱锥,∴
O
在平面
PBC
内的射影为
PBC
的重心新疆王新敞
奎屯
方法二:
OP平面ABC,OAOCABBC,OAOBOAOPOBOP

O
为原点,射线
OP
为非负
z
轴,建立空间直角坐标系
O

xyz
(如图)新疆王新敞
奎屯
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f设ABa则A
22
a00
B0
22

0
C


22

0
0


设OPh,则P00h
zP
D

D为PC的中点,OD
24
a
0
12
h


A
x
O
C
又PA
22
a
0
h

OD


12
PAOD

PA

OD∥平面PAB
By

k1,即PA2ah2
72
a
PA


2a02
72
a


可求得平面PBC的法向量
11
17

,cos
PA




PAPA





210,30
设PA与平面PBC所成的角为,则si
cosPA
210,30
(Ⅲ)PBC的重心G
2a6
26
a
13
h
,OG



2a6
26
a
13
h


OG

平面PBC
OG

PB
,又
PB


0
22
ahOG
PB

16
a2

1h23

0h

2a,2
PAOA2h2a,即k1,反之,当k1时,三棱锥OPBC为正三棱锥,

O
在平面
PBC
内的射影为
PBC
的重心新疆王新敞
奎屯
2、(2006年)如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD90°PA⊥底面ABCD,且PA=ADAB2BCM、N分别为PC、PB的中点
Ⅰ求证:PB⊥DM
Ⅱ求CD与平面ADMN所成的角。
解:方法一:(I)因为N是PB的中点,PAAB,所以AN⊥PB。
因为AD平面PAB,所以AD⊥PB,从而PB⊥平面ADMN,
因为DM平面ADMN,所以PB⊥DM
(II)取AD的中点G,连结BG、NG,则BG∥CD,
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f所以BG与平面ADMN所r
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