函数的值域与最值
【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法换元必换限（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例1：求下列函数的值域。
（1）y2x1；2x1
（2）ylg12cosx；
（3）y2x2x1；
（4）yx22x1；x1
（5）ylgxx26x1x2；
（6）y3si
x。2cosx
解：（1）解一分离常数法：y2x12x12121y11
2x12x1
2x1
解二反函数法：y2x12y2x1yxy1y1
2x1
2y2
（2）基本函数性质法：cosx1112cosx13又12cosx0
12cosx03ylg3
（3）换元法：令t2x10，则2xt21
y2x
2x
1

t2
1
t


t

12
2

34
又t

0

y
1
（4）基本不等式法：令tx10，则xt1yt122t11t44
t
t
当t0时，y2t440，当且仅当t2即x1时取等号t
f当t0时，y2t448，当且仅当t2即x3时取等号t
∴y80
（5）单调性法：y1lgx在12上单调增且y2x26x在12上单调增
yy1y2在12上单调增y58lg2
（6）数形结合法：设
Pcossi


、Q23
，则
kPQ

3si
x2cosx

y
设y3kx2
3k2
2k1

1

k

2

233

2

2
33

即
y

2

2
33

2

233

例2：函数fxax2a1在区间11上的值有正有负，求实数a的取值范围。
解：令fxax2a10
①若a0fx1显然不符题意
②若
a

0

x

2aa
1

1

2aa
1

1

a


1

13

∴综上所述，
a


1

13

例3：已知函数fxtx1xt0，gt为fx在01上的最小值，求函数gt的最
t
大值并画出gt的图象。
解：
f
x


t

1t
x

1t
①t10即t1时，fr