锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、化简或求值
例1（1）已知ta
2cot1，且是锐角，求ta
2cot22的值。
（2）化简asi
bcos2acosbsi
2。
分析（1）由已知可以求出ta
的值，化简ta
2cot22可用1ta
cot；（2）先把平方展开，再利用si
2cos21化简。
解（1）由ta
2cot1得ta
22ta
，解关于ta
的方程得
ta
2或ta
1。又是锐角，∴ta
2。∴ta
2cot22＝
ta
22ta
cotcot2＝ta
cot2＝ta
cot。由ta
2，
得cot1，∴ta
2cot22＝ta
cot＝213。
2
22
（2）asi
bcos2acosbsi
2＝
a2si
22absi
cosb2cos2＋a2cos22abcossi
b2si
2＝
a2si
2cos2b2si
2cos2＝a2b2。
说明在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即si
2cos21，
ta
cot1等。
二、已知三角函数值，求角
例2
在△
ABC
中，若

cos
A

222
3si
B0AB均为锐角，
2
求C的度数。
分析几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA和si
B的
值，进而求出AB的值，然后就可求出C的值。
13
f解

由题意得
cos
A

22

0
解得
cos
A

22又∵AB均为锐角，

32
si
B0
si
B
33
∴A45B60。∴C180AB75
说明解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。
三、已知锐角的一个三角函数值，求其余三角函数值例3已知ta
2，求si
cos的值。
si
cos分析∵ta
2，根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使
C90，ACa，BC2a，就可求出si
cos。
解根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使C90，ACa，
BC2a。则ta
2，ABa22a25a。∴si
BC25，
AB5
cosAC5AB5
2∴si
cos＝5
si
cos2
515
51
5
51。
5353
55
说明构造直角三角形解题，特别是解几何问题是应用比较广泛的一种方
法。
四、比较大小
例4若太阳光线与地面成37的角，一颗树的影长10米，取317，则树高h的范围是（）
A3h5B5h10C10h15Dh15分析∵h10ta
37，利用正切函数的性质估算出ta
37的范围即可。
解∵303745，∴ta
30ta
37ta
45。而h10ta
37，∴10ta
3010ta
3710ta
45，1017h101，即5h10。故选B。
3
23
f说明掌握三角函数函数值随自变量的变化的性质，正确估算是解此题的关键。
五、求齐次式的值例5已知ta
2，（1）求si
3cos的值；
2cos5si
（2）求2si
2si
coscos2的值。
分析（1）r