清北学长精心打造卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案六
一选择题1．对于每个自然数
，抛物线y
x2
1x1与x轴交于A
，B
两点，以A
B
表示该两点的距离，则
22
A1B1A2B2A1992B1992的值是1991A1992B19921993C
19911993D19931992
2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是Ax1－yy1－x0
2222
Bx1－yy1－x0
2222
Cx1－yy1－x0Dx1－yy1－x043．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λA2λ≤4B3λ4C25λ≤45
y
1
SiS，则λ一定满足Σi1

1
O1
1x
D35λ55
Csi
B4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，cb1，且，都是方程logxlogb4x－4的根，Asi
Ab
则△ABCB是直角三角形，但不是等腰三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形
22
A是等腰三角形，但不是直角三角形C是等腰直角三角形
5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且z14，4z12z1z2z20，O为坐标原点，则△OAB的面积为A83B43C63D1236．设fx是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f10xf10x，f20xf20x，则fx是A偶函数，又是周期函数C奇函数，又是周期函数二填空题111xz1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是______．B偶函数，但不是周期函数D奇函数，但不是周期函数

xyz
zx
2．在区间0，中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是______．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．4．设z1，z2都是复数，且z13，z25z1z27，则arg的值是______．5．设数列a1，a2，，a
，满足a1a21，a32，且对任何自然数
，都有a
a
1a
21，又a
a
1a
2a
3a
a
1a
2a
3，则a1a2a100的值是____．6．函数fx4三求证：16
z2z1
3
x4－3x2－6x13－x4－x21的最大值是_____．
117．Σki1
四设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且ABBC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，
E，F，已知AD15，BECF10，求l与m的距离．
五设
是自然数，f
x
72
x
1－x－
－11x0，±1，令yx．x－x－1x
1求证f
1xyf
xf
1x，
1
f2用数学归纳法证明：
f
x


1iy
－C
－1y
－2…－1iC
－iy
－2i…－12，i1，2，…，，
为偶数
2

－1
－1
－11i
－2iy－C
－1y…r