第四章平面问题有限元法
第一节弹性力学有关知识
在有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。现将它们连同相应的矩阵和张量表达式形式综合引述于后。一、弹性力学基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量xyzxyyzzx来表示。其中xyz为正应力；xyyzzx为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图41。
图41应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量，即
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fxyzxxyyzzx

yzxyyzzxT
（41）
弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量
uvw来表示，它的矩阵形式是
uTfvuvww
（42）
称作位移阵或位移向量。弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量xyzxyyzzx来表示。其中xyz为正应变；xyyzzx为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。应变的矩阵形式是
xyzxxyyzzx

yz
xyyzzxT
（43）
称作应变列阵或应变向量。
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f对于三维问题，弹性力学基本方程可写成如下形式。1平衡方程弹性体V域内任一点沿坐标轴xyz方向的平衡方程为
xyxzxfx0xyzxyyzyfy0xyzxzyzzfz0xyz
（44）
其中fxfyfz为单位体积的体积力在xyz方向的分量。且有
xyyxyzzy，zxxz。
平衡方程的矩阵形式为
Aσf0（在V内）
（45）
其中，A是微分算子，即
xA000y000zyx0r