第1讲
立体几何中的向量方法、抛物线
考情考向分析1利用空间向量的坐标判定线面关系，求异面直线、直线与平面、平面与平面所成的角，其中求角是考查热点，均属B级要求2考查顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求．
热点一利用空间向量求空间角例12018淮安等四市模拟在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分→→→别是AA1，AC和A1C1的中点．以FA，FB，FG为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz
1求异面直线AC与BE所成角的余弦值；2求二面角F－BC1－C的余弦值．解1因为AB＝1，AA1＝2，则F000，
A，0，0，C－，0，0，B0，
12

12


31，0，E2，0，1，2
3→→1所以AC＝－100，BE＝，－，1，22记异面直线AC与BE所成的角为α，
→→则cosα＝cos〈AC，BE〉＝
＝2，4
13＋2－＋12
1－1×2
22
所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为
24
2设平面BFC1的法向量为m＝x1，y1，z1
1
f3→1→因为FB＝0，，0，FC1＝－，0，2，223→mFB＝2y＝0，则1→＝－x＋2z＝0，mFC2
1111
取x1＝4得，m＝401．设平面BCC1的一个法向量为
＝x2，y2，z2，同理得，
＝3，－10，所以cos〈m，
〉＝4×3＋－1×0＋1×0

251＝，222222173＋－1＋04＋0＋1
根据图形可知二面角F－BC1－C为锐二面角，251所以二面角F－BC1－C的余弦值为17思维升华利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．跟踪演练12018镇江期末如图，AC⊥BCO为AB中点，且DC⊥平面ABCDC∥BE已知AC＝BC＝DC＝BE＝2
1求直线AD与CE所成角；2求二面角O－CE－B的余弦值．→→解1因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，所以以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，→
CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz
2
f∵AC＝BC＝BE＝2，∴C0，0，0，B2，0，0，A0，2，0，O1，1，0，
E2，0，2，D0，0，2，且AD＝0，－2，2，
→
→
CE＝2，0，2
→→∴cos〈AD，CE〉＝
ADCE
→→
→AD
41＝＝→22×222CE
∴AD与CE的夹角为60°2平面BCE的法向量m＝0，1，0r