c2

c2

，
又P点在圆x2

y2

a2上，c24

c24

a2，即c22

a2e2

c2a2

2．
e2，故选A．
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：x2y21的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，42
O为坐标原点，若POPF，则△PFO的面积为
A．324
C．22
【答案】A
B．322
D．32
【解析】由a2b2ca2b26
POPFxP
6，2
又
P
在
C
的一条渐近线上，不妨设为在
y

ba
x
上，则
yP

ba
xP

22
62
3，2
S△PFO
1OF2

yP
12
6332，故选A．24
f【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆x2a2

y2b2
1（a＞b＞0）的离心率为12
，则
A．a22b2
B．3a24b2
C．a2b
D．3a4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率ec1c2a2b2，化简得3a24b2，a2
故选B
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识基本运算能力
的考查由题意利用离心率的定义和abc的关系可得满足题意的等式
6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21xy
就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【答案】C
【解析】由
x2

y2
1
x
y得，y2

x
y
1x2，
y


x2

2
1
3x24
1
3x24
0x2
4，3
f所以x可取的整数有0，1，1，从而曲线Cx2y21xy恰好经过0，1，0，1，1，
0，1，1，1，0，1，1，共6个整点，结论①正r