233双曲线的简单几何性质（一）【学习目标】
初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．【自主学习】
双曲线的简单几何性质：1．范围、对称性
y
NQ
B2
M
2．顶点
顶点：A1a0A2a0特殊点：B10bB20b
A1O
A2
x
B1
实轴：A1A2长为2aa叫做
．虚轴：B1B2长为2b，b叫做
．
1
渐近线：过双曲线x2a2

y2b2
1的两顶点A1A2，作Y轴的平行线xa，经过B1B2
作
X
轴的平行线
y

b
，四条直线围成一个矩形新疆王新敞
矩形的两条对角线所在直线方程是
奎屯
（xy0），这两条直线就是双曲线的渐近线．ab
4．等轴双曲线
，这样的双曲线叫做等轴双曲线．
结合图形说明：ab时，双曲线方程变成x2y2a2或b2，它的实轴和虚轴都等于
2a2b，这时直线围成正方形，渐近线方程为
y

x
新疆王新敞
奎屯
轴和虚轴所成的角．
5．双曲线的草图画法：
它们互相垂直且平分双曲线的实
6．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比e
，叫做双曲线的离心率．
范围：
双曲线形状与e的关系：kbc2a2c21e21，
a
a
a2
因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就，这时双曲线的形状就从逐渐变得．【典型例题】
例1求双曲线9y216x2144的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和
渐近线方程，并作出草图．
【课堂检测】
f1下列方程中，以x±2y0为渐近线的双曲线方程是
（）
Ax2y21164
Bx2y21416
Cx2y212
Dx2y212下2
列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）Ax2y21和y2x21
3
93
Bx2y21和y2x21
3
3
Cy2x21和x2y21
3
3
Dx2y21和x2y21
3
93
3双曲线kx24y24k的离心率小于2，则k的取值范围是
（A）（∞0）（B）30
（C）120
4求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（D）121
1实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；2离心率e2，经过点M53
3求以椭圆x2y21的顶点为焦点的等轴双曲线的方程．128
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