龙源期刊网httpwwwqika
comc
平面法向量在立体几何中的应用
作者:张凤丽来源:《新课程中学》2014年第04期
高中数学提出了法向量的概念,它在立体几何研究中有着重要应用。法向量从另一个角度描述了平面的具体位置关系,因而一部分与平面有关的问题,若能借助于法向量来解决,往往能避开传统方法中的诸多不便。下面就具体来谈一谈法向量的应用。一、法向量在直线与平面所成的角中的应用如图,平面α与平面α的一条斜线AB,
为平面α的法向量,■为直线AB的方向向量,易得:直线AB与平面α所成的角等于■或等于■。■例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB与C1D1的中点,求A1B1与截面A1ECF所成角的正弦值。解:如图,以A为原点,分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则有E(■,0,0),A1(0,0,a),F(■,a,a),B1(a,0,a),■设截面A1ECF的法向量为
(x,y,z)因为■(■,0,a),■(■,a,0),■(a,0,0),所以:■
(■,0,a)(x,y,z)0,■
(■,a,0)(x,y,z)0即:■xaz0且■xay0,解得x2z,yz,令z1,则
(2,1,1),∵cos■■■,设A1B1与截面A1ECF所成角为θ,易知θ■,
f龙源期刊网httpwwwqika
comc
∴si
θcos■。二、法向量在有关平面与平面所成角问题中的应用如图,设
1,
2分别为二面角αlβ的两个半平面α、β的法向量,易知:与二面角αlβ的平面角θ之间的关系为:θπ或者θ,因此只要确定了两平面的法向量,即可求出二面角的大小。■例2如图在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,∠ABC90°,SA⊥面ABCD,SAABBC2AD,求平面SCD与平面SBA所成的二面角θ的正切值。■分析:此题若用传统的“一作,二证,三计算”的方法去解,过程很繁杂,利用向量来解就较简单。解:如图,以A为原点,分别以AD,AB,AS为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,并设AD1,则有:D(1,0,0),S(0,0,2),C(2,2,0),易知平面SAB的法向量
1■(1,0,0),设平面SCD的法向量
2(x,y,z)因为■(1,0,2),■(1,2,0),由
2■
2■0,得x2z0,即x2y0即:x2z,yz,令z1,则
2(2,1,1),所以cosθ■■,易得:ta
θ■。立体几何,因其要求学生具有较高的空间想象能力、逻辑思维能力以及解题过程中的技巧性、随机性,让学生感到头疼,而向量的引入就恰恰解决了这一点。采用向量代数的观点,使很多过去难以处理的问题有了统一的处理方法,因此,r