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平面法向量在立体几何中的应用
作者：张凤丽来源：《新课程中学》2014年第04期
高中数学提出了法向量的概念，它在立体几何研究中有着重要应用。法向量从另一个角度描述了平面的具体位置关系，因而一部分与平面有关的问题，若能借助于法向量来解决，往往能避开传统方法中的诸多不便。下面就具体来谈一谈法向量的应用。一、法向量在直线与平面所成的角中的应用如图，平面α与平面α的一条斜线AB，
为平面α的法向量，■为直线AB的方向向量，易得：直线AB与平面α所成的角等于■或等于■。■例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB与C1D1的中点，求A1B1与截面A1ECF所成角的正弦值。解：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则有E（■，0，0），A1（0，0，a），F（■，a，a），B1（a，0，a），■设截面A1ECF的法向量为
（x，y，z）因为■（■，0，a），■（■，a，0），■（a，0，0），所以：■
（■，0，a）（x，y，z）0，■
（■，a，0）（x，y，z）0即：■xaz0且■xay0，解得x2z，yz，令z1，则
（2，1，1），∵cos■■■，设A1B1与截面A1ECF所成角为θ，易知θ■，
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∴si
θcos■。二、法向量在有关平面与平面所成角问题中的应用如图，设
1，
2分别为二面角αlβ的两个半平面α、β的法向量，易知：与二面角αlβ的平面角θ之间的关系为：θπ或者θ，因此只要确定了两平面的法向量，即可求出二面角的大小。■例2如图在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，∠ABC90°，SA⊥面ABCD，SAABBC2AD，求平面SCD与平面SBA所成的二面角θ的正切值。■分析：此题若用传统的“一作，二证，三计算”的方法去解，过程很繁杂，利用向量来解就较简单。解：如图，以A为原点，分别以AD，AB，AS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设AD1，则有：D（1，0，0），S（0，0，2），C（2，2，0），易知平面SAB的法向量
1■（1，0，0），设平面SCD的法向量
2（x，y，z）因为■（1，0，2），■（1，2，0），由
2■
2■0，得x2z0，即x2y0即：x2z，yz，令z1，则
2（2，1，1），所以cosθ■■，易得：ta
θ■。立体几何，因其要求学生具有较高的空间想象能力、逻辑思维能力以及解题过程中的技巧性、随机性，让学生感到头疼，而向量的引入就恰恰解决了这一点。采用向量代数的观点，使很多过去难以处理的问题有了统一的处理方法，因此，r